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Question

(A) दिया गया सीमा $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{r=1}^n r^a}}{{(n+1)^{a-1} \sum_{r=1}^n (na + r)}} = \frac{1}{60}$ है।अंश और हर

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$7$

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(A) दिया गया सीमा $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\sum_{r=1}^n r^a}}{{(n+1)^{a-1} \sum_{r=1}^n (na + r)}} = \frac{1}{60}$ है।अंश और हर को $n^{a+1}$ से विभाजित करने पर:$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{{\frac{1}{n} \sum_{r=1}^n (\frac{r}{n})^a}}{{(\frac{n+1}{n})^{a-1} \cdot \frac{1}{n^2} \sum_{r=1}^n (na + r)}} = \frac{1}{60}$.निश्चित समाकलन की परिभाषा $\int_0^1 x^a dx = \frac{1}{a+1}$ और समांतर श्रेणी के योग का उपयोग करने पर:$\frac{\int_0^1 x^a dx}{\lim_{n 	o \infty} (1 + \frac{1}{n})^{a-1} (a + \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{n}))} = \frac{1}{60}$.$\frac{\frac{1}{a+1}}{a + \frac{1}{2}} = \frac{1}{60}$.$\frac{2}{(a+1)(2a+1)} = \frac{1}{60} \Rightarrow (a+1)(2a+1) = 120$.$2a^2 + 3a - 119 = 0$.$(2a + 17)(a - 7) = 0$.चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 7$ प्राप्त होता है।

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निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n}\left\{1+\sqrt{\frac{n}{n+3}}+\sqrt{\frac{n}{n+6}}+\sqrt{\frac{n}{n+9}}+\ldots+\sqrt{\frac{n}{n+3(n-1)}}\right\}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (k^2 x)$ का मान है

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+1\right)(n+1)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+4\right)(n+2)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+9\right)(n+3)}+\ldots+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+n^{2}\right)(n+n)}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=ae^{b}$ है,तो $a+b=$

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